La preuve en mathematique

En mathématique, la méthode de la preuve et la méthode déductive remontent au modèle classique de l'exposition inventé par Euclide et décrit dans son ouvrage célèbre ayant pour titre Éléments. L'attitude des mathématiciens envers ces méthodes a eu beau évoluer au cours des derniers siècles, la relation entre la compréhension et l'acceptabilité des énoncés mathématiques n'a cependant pas progressé de manière spectaculaire. C'est pourquoi la présente analyse tente d'expliquer comment les difficultés liées à la preuve peuvent provenir de la tension entre deux pôles: la production des connaissances mathématiques, d'une part, et leur systématisation, d'autre part. Il s'agit ici de deux orientations complémentaires de la recherche. En effet, la première partie de l'analyse axée sur la notion de l'unité cognitive a trait à la relation entre la production d'une conjecture et sa preuve, la construction théorique de l'unité cognitive servant à analyser et à interpréter les difficultés des élèves. La deuxième partie porte sur une étude qui veut initier les élèves à la réflexion théorique et examiner le rôle du logiciel Cabri‐géomètre dans le processus d'enseignement et d'apprentissage. Dans une perspective vygotskienne, l'emphase est alors mise sur la médiation sémiotique qui s'effectue par des artefacts culturels. Les exemples tirés de diverses recherches sont analysés en vue d'illustrer la complémentarité de nombreux aspects et problèmes relatifs à la preuve. Dans la pratique didactique, l'utilisation d'objets communs n'est pas nouvelle, mais c'est plutôt l'interprétation de ces objets en termes de médiation sémiotique qui est considérée comme une nouveauté. À ce sujet, un exemple intéressant nous est donné dans le projet développé par le Groupe de Modène que coordonne Bartolini Bussi; il s'agit d'une expérience qui a de nombreuses affinités avec la nôtre. À propos de ces deux exemples, la signification que nous comptons introduire dans laquelle nous utilisons un artefact comme médiateur sémiotique est celle de Théorème en liaison étroite avec celle de Théorie. Dans ce cas précis, les artéfacts culturels sont les systèmes d'engrenage et la théorie de référence retenue est la cinématique de Héron (Livre l” de la mécanique, ler siècle apr. J.‐ C.). C'est un principe facilement acceptable qui peut servir de base à une théorie: ≪ Deux cercles engrenés tournent en direction opposée. L'un vers la droite, l'autre vers la gauche ≫ (cité dans Carra de Vaux, 1988). On peut tirer de ce postulat plusieurs théorèmes intéressants.L'expérience du Groupe de Modène se déroule dans une classe de 4e année. Malgré l'âge des élèves, on observe que la plupart d'entre eux sont en mesure de concevoir des énoncés généraux relatifs au mouvement des engrenages et d'élaborer des argumentations pour les justifier, tout en ayant recours au principe établi. C'est en ce sens qu'il est possible de parler de pensée théorique. © 2001 Taylor and Francis Group, LLC.