Estimates for low Steklov eigenvalues of surfaces with several boundary components

In this article, we give computable lower bounds for the first non-zero Steklov eigenvalue sigma 1 \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\sigma _1$$\end{document} of a compact connected 2-dimensional Riemannian manifold M with several cylindrical boundary components. These estimates show how the geometry of M away from the boundary affects this eigenvalue. They involve geometric quantities specific to manifolds with boundary such as the extrinsic diameter of the boundary. In a second part, we give lower and upper estimates for the low Steklov eigenvalues of a hyperbolic surface with a geodesic boundary in terms of the length of some families of geodesics. This result is similar to a well known result of Schoen, Wolpert and Yau for Laplace eigenvalues on a closed hyperbolic surface. Dans cet article, nous donnons des bornes inferieures calculables pour la premiere valeur propre non nulle sigma 1 \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\sigma _1$$\end{document} de Steklov d'une variete riemannienne compacte et connexe M de dimension 2 avec un bord forme de plusieurs composantes connexes. Ces estimations montrent comment la geometrie de M loin du bord affecte cette valeur propre. Elles font intervenir des quantites geometriques specifiques aux varietes a bord comme le diametre extrinseque du bord. Dans une deuxieme partie, nous donnons des bornes inferieures et superieures pour les valeurs propres basses d'une surface hyperbolique a bord geodesique, qui dependent de la longueur de certaines familles de geodesiques. Ce resultat est similaire a un resultat bien connu de Schoen, Wolpert et Yau pour les valeurs propres du laplacien d'une surface hyperbolique fermee.