Doubles mélanges des polylogarithmes multiples aux racines de l’unité

Résumé. – Les valeurs des fonctions zêta multiples aux entiers strictement positifs fournissent une solution au système d’équations des associateurs de Drinfel’d, aux nombreuses applications en algèbre quantique. Vues comme intégrales itérées, ce sont les périodes du groupoïde fondamental motivique de P1∖{0,1,∞}, d’où un système fondamental de relations algébriques, qui implique celui des associateurs mais n’est pas explicite.¶On étudie ici la combinatoire d’un autre système de relations, les doubles mélanges, qui provient de manipulations élémentaires de séries et d’intégrales. On montre qu’il partage une propriété importante avec les associateurs et les relations « motiviques », est conséquence de ces dernières et définit une algèbre de polynômes sur Q (théorème d’Écalle). On obtient ces résultats pour les nombres plus généraux que sont les polylogarithmes multiples aux racines de l’unité de Goncharov.