GENERALIZED TWO-PART SPERNER FAMILIES

Let m, n, S1, S2, …, Sn, be non-negative integers with 0≤m≤n. Assume μ（S1, S2, …, Sn）={（a1, a2, …, an）|0≤ai≤Si for each i} is a poser, Where （a1, a2, …, an）<（b1, b2, …, bn） if and only if ai<bi for all i. A subset of μ（s1, s2, …, Sn） is called a two-part Sperner family in μ（s1, s2, …, sn） if for any a=（a1, a2, …, an）, b=（b1, b2, …, bn） ∈μ（s1, s2, …, sn）, （i） ai=bi（1≤i≤m） and ai≤bi（m+1≤i≤n） imply ai=bi for all i, and （ⅱ） ai≤bi（1≤i≤m） and ai=bi（m+1≤i≤n） imply ai=bi for all i.In this paper, we prove that if is a two-part Sperner family in μ（s1, s2,…, sn）, then