Extremal independence in discrete random systems

Let X (n) E Rd be a sequence of random vectors, where n E N and d = d(n). Under certain weakly dependence conditions, we prove that the distribution of the maximal component of X and the distribution of the maximum of their independent copies are asymptotically equivalent. Our result on extremal independence relies on new lower and upper bounds for the probability that none of a given finite set of events occurs. As applications, we obtain the distribution of various extremal characteristics of random discrete structures such as maximum codegree in binomial random hypergraphs and the maximum number of cliques sharing a given vertex in binomial random graphs. We also generalise Berman-type conditions for a sequence of Gaussian random vectors to possess the extremal independence property. R & eacute;sum & eacute;. Soit X (n) E Rd une suite de vecteurs al & eacute;atoires, o & ugrave; n E N et d = d(n). Sous certaines conditions de faible d & eacute;pendance, nous prouvons que la loi de la composante maximale de X et la loi du maximum de leurs copies ind & eacute;pendantes sont asymptotiquement & eacute;quivalents. Notre r & eacute;sultat sur l'ind & eacute;pendance extr & eacute;male repose sur de nouvelles bornes inf & eacute;rieures et sup & eacute;rieures pour la probabilit & eacute; qu'aucun & eacute;v & eacute;nement d'un ensemble fini donn & eacute; ne se produise. Comme applications, nous obtenons la distribution de diverses caract & eacute;ristiques extr & eacute;males de structures discr & egrave;tes al & eacute;atoires telles que le codegr & eacute; maximum dans les hypergraphes al & eacute;atoires binomiaux et le nombre maximum de cliques partageant un sommet donn & eacute; dans les graphes al & eacute;atoires binomiaux. Nous g & eacute;n & eacute;ralisons & eacute;galement les conditions de type Berman pour qu'une s & eacute;quence de vecteurs al & eacute;atoires gaussiens poss & egrave;de la propri & eacute;t & eacute; d'ind & eacute;pendance extr & eacute;male.